3.40 \(\int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \csc (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=146 \[ \frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b} \]

[Out]

(-6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[
2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a
+ b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.115982, antiderivative size = 146, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 5, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.25, Rules used = {4410, 4183, 2531, 2282, 6589} \[ \frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x],x]

[Out]

(-6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[
2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a
+ b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4

Rule 4410

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp
[((c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^n)/(b*n), x] + Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /; Fr
eeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \csc (a+b x) \, dx &=-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 1.18697, size = 311, normalized size = 2.13 \[ -\frac{-6 i b d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )+6 i b d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )+6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )-6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )-3 b^2 c^2 d \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right )+3 b^2 c^2 d \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c^2 d x \csc (a+b x)+b^3 c^3 \csc (a+b x)+3 b^3 c d^2 x^2 \csc (a+b x)-6 b^2 c d^2 x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right )+6 b^2 c d^2 x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right )-3 b^2 d^3 x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right )+3 b^2 d^3 x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right )+b^3 d^3 x^3 \csc (a+b x)}{b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x],x]

[Out]

-((b^3*c^3*Csc[a + b*x] + 3*b^3*c^2*d*x*Csc[a + b*x] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Csc[a + b*x] + b^3*d^3*x^3*Csc[a + b*x]
- 3*b^2*c^2*d*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - 6*b^2*c*d^2*x*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - 3*b^2*d^3*x^2*Log[1 - E^(I*
(a + b*x))] + 3*b^2*c^2*d*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + 6*b^2*c*d^2*x*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + 3*b^2*d^3*x^2*Lo
g[1 + E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2,
E^(I*(a + b*x))] + 6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] - 6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.256, size = 433, normalized size = 3. \begin{align*}{\frac{-6\,i{d}^{3}{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) x}{{b}^{3}}}-6\,{\frac{{d}^{3}{a}^{2}{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{4}}}-6\,{\frac{{d}^{2}c\ln \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }}+1 \right ) x}{{b}^{2}}}-6\,{\frac{{d}^{2}c\ln \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }}+1 \right ) a}{{b}^{3}}}-6\,{\frac{{c}^{2}d{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{2}}}+6\,{\frac{{d}^{2}c\ln \left ( 1-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) x}{{b}^{2}}}+6\,{\frac{{d}^{2}c\ln \left ( 1-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) a}{{b}^{3}}}-3\,{\frac{{d}^{3}\ln \left ( 1-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ){a}^{2}}{{b}^{4}}}+{\frac{6\,i{d}^{2}c{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{3}}}-3\,{\frac{{d}^{3}\ln \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }}+1 \right ){x}^{2}}{{b}^{2}}}+3\,{\frac{{d}^{3}\ln \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }}+1 \right ){a}^{2}}{{b}^{4}}}+12\,{\frac{{d}^{2}ca{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{3}}}+{\frac{6\,i{d}^{3}{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) x}{{b}^{3}}}+3\,{\frac{{d}^{3}\ln \left ( 1-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ){x}^{2}}{{b}^{2}}}+6\,{\frac{{d}^{3}{\it polylog} \left ( 3,{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{4}}}-6\,{\frac{{d}^{3}{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{4}}}-{\frac{6\,i{d}^{2}c{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }} \right ) }{{b}^{3}}}-{\frac{2\,i \left ({d}^{3}{x}^{3}+3\,c{d}^{2}{x}^{2}+3\,{c}^{2}dx+{c}^{3} \right ){{\rm e}^{i \left ( bx+a \right ) }}}{b \left ({{\rm e}^{2\,i \left ( bx+a \right ) }}-1 \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x)

[Out]

-6*I*d^3/b^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-6*d^3/b^4*a^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))-6*d^2/b^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1
)*x-6*d^2/b^3*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a-6*d/b^2*c^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+6*d^2/b^2*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+
6*d^2/b^3*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-3*d^3/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2+6*I*d^2/b^3*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))
-3*d^3/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3*d^3/b^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a^2+12*d^2/b^3*c*a*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+
6*I*d^3/b^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+3*d^3/b^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+6*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^
4-6*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*I*d^2/b^3*c*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-2*I*(d^3*x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*
d*x+c^3)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*x+a))-1)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.81669, size = 2390, normalized size = 16.37 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(3*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (cos(2*b*x +
2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1
) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2
*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*c^2*d/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x +
2*a) + 1)*b) - 6*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (co
s(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*
x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x
+ a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*a*c*d^2/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2
*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^2) + 3*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(
b*x + a) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a
)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a
)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*a^2*d^3/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*
x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^3) + 2*c^3/sin(b*x + a) - 6*a*c^2*d/(b*sin(b*x + a)) + 6*a^2*c*d^2/(b^2
*sin(b*x + a)) - 2*a^3*d^3/(b^3*sin(b*x + a)) - 2*((6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*((b
*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*
a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + (6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2
- a*d^3)*(b*x + a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (6*I*(b*x + a)^2*
d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - 4*((
b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a) - (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 - 1
2*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(2
*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 - 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3
- a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x
+ I*a)) - (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2
+ 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a
))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d
^3)*(b*x + a) + (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 3*((b*x + a)^2*
d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) +
1) - (-12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 12*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 12*I*d^3)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (12*I*d^
3*cos(2*b*x + 2*a) - 12*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - 12*I*d^3)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) - (4*I*(b*x + a)^3*d^3 +
(12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a)^2)*sin(b*x + a))/(-2*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 2*b^3*sin(2*b*x + 2*a) + 2
*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.605109, size = 1740, normalized size = 11.92 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 2*b^3*c^3 - 6*d^3*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x
+ a))*sin(b*x + a) - 6*d^3*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*polylog(3, -cos(b*x
+ a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-6*I*b*
d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*dilog(cos
(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*
sin(b*x + a) - (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2
+ 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d
^2*x + b^2*c^2*d)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*
log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*log(-1/
2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d
^3)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*
d^3)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a))/(b^4*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \cos \left (b x + a\right ) \csc \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*cos(b*x + a)*csc(b*x + a)^2, x)